[WEEK03] 스패닝 트리와 MST

🌳 신장 트리 (Spanning Tree, 스패닝 트리)

신장 트리는 하나의 그래프에서 모든 정점을 포함하면서 사이클이 없는 트리 구조의 부분 그래프다.

Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프다.

✅ 특징

• N개의 정점이 있다면 정확히 N-1개의 간선으로 구성됨
• 사이클이 없음
• 모든 정점이 연결되어 있음 (Connected)

즉, 원래 그래프의 모든 노드를 포함하지만 최소한의 간선으로 연결한 구조라고 생각하면 된다. 하나의 그래프에서 가능한 신장 트리는 여러 개 존재할 수 있다.

최소 신장 트리 (MST)

MST (Minimum Spanning Tree)는 신장 트리들 중에서 간선의 가중치 총합이 가장 작은 트리를 의미한다.

MST는 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 트리이다.

 

그래프에서 불필요한 간선을 모두 제거해 가장 가벼운 연결망을 만드는 작업이라고 생각하면 이해하기 쉽다.

---

⚙️ MST 알고리즘

1. Kruskal’s Algorithm

Kruskal 알고리즘은 탐욕법(Greedy method)을 이용하여 weighted graph 상의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 알고리즘이다.

• 간선 중심 접근
• 모든 간선을 가중치 기준으로 오름차순 정렬 → 사이클이 생기지 않도록 하나씩 선택
• Union-Find (Disjoint Set) 자료구조를 함께 사용

📌 시간 복잡도: O(E log E)

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
   • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
   • 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

2. Prim’s Algorithm

Prim 알고리즘은 시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장해나가는 방법이다.

• 정점 중심 접근
• 임의의 시작점에서 시작 → 가장 비용이 적은 간선으로 확장 → 모든 정점을 연결
• 우선순위 큐 (Heap) 를 사용하면 효율적

📌 시간 복잡도: O(E log V)

1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST 집합에 포함된다.
   • 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
   • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
2. 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

🔥 MST의 활용 예시

• 통신 네트워크 구축 (최소 비용으로 도시 연결)
• 도로망, 배관, 전기회로 설계
• 클러스터링 알고리즘의 기초
• 게임 맵 생성

---

💻 코드 구현

1️⃣ Kruskal's Algorithm

class DisjointSet:
    def __init__(self, n):
        self.parent = [i for i in range(n)]

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])  # Path Compression
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        x_root = self.find(x)
        y_root = self.find(y)
        if x_root != y_root:
            self.parent[y_root] = x_root

def kruskal(n, edges):
    edges.sort(key=lambda x: x[2])  # 가중치 기준 정렬
    ds = DisjointSet(n)
    mst_weight = 0
    mst_edges = []

    for u, v, weight in edges:
        if ds.find(u) != ds.find(v):
            ds.union(u, v)
            mst_weight += weight
            mst_edges.append((u, v, weight))

    return mst_weight, mst_edges

# 사용 예시
n = 4
edges = [
    (0, 1, 1),
    (0, 2, 3),
    (1, 2, 2),
    (1, 3, 4),
    (2, 3, 5)
]

weight, mst = kruskal(n, edges)
print("MST 가중치 합:", weight)
print("MST 간선 목록:", mst)

2️⃣ Prim's Algorithm

import heapq

def prim(n, graph):
    visited = [False] * n
    min_heap = [(0, 0)]  # (가중치, 정점)
    mst_weight = 0

    while min_heap:
        weight, u = heapq.heappop(min_heap)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        mst_weight += weight

        for v, w in graph[u]:
            if not visited[v]:
                heapq.heappush(min_heap, (w, v))

    return mst_weight

# 사용 예시
n = 4
graph = {
    0: [(1, 1), (2, 3)],
    1: [(0, 1), (2, 2), (3, 4)],
    2: [(0, 3), (1, 2), (3, 5)],
    3: [(1, 4), (2, 5)]
}

weight = prim(n, graph)
print("MST 가중치 합:", weight)

두 알고리즘 모두 실행하면 같은 MST 가중치 합을 구할 수 있지만 다음과 같은 차이가 있다.

• Kruskal은 간선 정렬 → 유니온 파인드로 사이클 검사,
• Prim은 정점 확장 → 우선순위 큐로 가장 가벼운 간선 선택

실제 코테에서는 Prim이 Dense Graph에서 효율적이고, Kruskal은 Sparse Graph에서 효율적이라고 한다.

---

[참고자료]

• [알고리즘] 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)란