[백준] (12865) 평범한 배낭 [Python]

문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/12865

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

• 입력 : 첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다. 입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.
• 출력 : 한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

 

예제 입력	예제 출력
4 7 6 13 4 8 3 6 5 12	14

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배낭 문제란?

배낭 문제Knapsack Problem는 다음과 같은 조건을 만족하는 최적해Optimal Solution를 찾는 문제다.

"무게 제한이 있는 배낭에 담을 수 있는 물건들을 선택할 때, 가치의 합이 최대가 되도록 물건을 고르되, 무게의 합은 배낭의 제한을 초과하지 않도록 하라."

보통 다음과 같이 입력이 주어진다:

• 각 물건은 무게(weight)와 가치(value)를 가진다.
• 배낭의 최대 무게 제한은 W이다.
• 물건은 한 번만 선택 가능하다 (0/1 Knapsack).

점화식 유도

동적 계획법을 사용하기 위해, 우선 부분 문제subproblem를 정의해야 한다.

• dp[i][w]: i번째 물건까지 고려했을 때, 무게 제한 w일 때의 최대 가치를 의미한다.

배낭에 물건을 넣는 경우의 수는 다음과 같다.

• i번째 물건을 넣지 않는 경우 → dp[i][w] = dp[i-1][w]
• i번째 물건을 넣는 경우 (단, 무게 제한을 넘지 않을 때) → dp[i][w] = dp[i-1][w - weight[i]] + value[i]

따라서 점화식은 다음과 같다.

dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weight[i]] + value[i])  # if weight[i] <= w

초기 조건은 dp[0][w] = 0 (아무 물건도 고려하지 않았을 때 최대 가치는 0)

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코드

n, k = map(int, input().split())
items = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(n)]

dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    w, v = items[i-1]
    for j in range(k+1):
        if w <= j:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w] + v)
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            
print(dp[n][k)

정리

• 배낭 문제는 DP의 기초 개념을 확실히 잡기에 좋은 문제이다.
• 점화식을 잘 세우고, 하위 문제를 반복적으로 해결하며 전체 문제를 푸는 방식이 핵심!
• 이후에는 공간 복잡도를 줄인 1차원 DP로도 최적화할 수 있다.

다음에는 Unbounded Knapsack이나 Fractional Knapsack (그리디) 문제도 함께 정리해보면 좋을 듯하다.